Some general conditions for regularization of ill-posed variational problems

Authors

  • V.A. Morozov

Keywords:

метод регуляризации
некорректные задачи
вариационные задачи
обобщенная минимизация
устойчивость
численные методы
метод обобщенной невязки

Abstract

Some aspects of stable solving a rather wide class of ill-posed variational problems (generalized minimization) are considered. We indicate the conditions that ensure the convergence of regularization, residual, and quasisolution methods in the original space as well as the strong convergence under certain additional conditions imposed on functionals. Our results substantially generalize a number of results obtained earlier for linear and nonlinear equations with unbounded operators. The influence of errors in the given and stabilizing functionals is studied. The work was supported by the Russian Foundation for Basic Research.

New computational technologies

Downloads

Published

2004-01-08

Issue

Vol. 5 (2004): Issue 1.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biography

V.A. Morozov

Lomonosov Moscow State University,
Research Computing Center

References

  1. Барбашин Е.А. К теории обобщенных динамических систем // Ученые записки МГУ. Математика. 1949. 2 , вып. 135. 110-134.
  2. Тихонов А.Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // Докл. АН СССР. 1965. 163, № 3. 591-594.
  3. Морозов В.А. О псевдорешениях // Ж. вычислит. матем. и матем. физики. 1969. 9, № 6. 1387-1391.
  4. Морозов В.А. О регуляризации некоторых классов экстремальных задач // Вычислит. методы и программирование. Вып. XII. M.: Изд-во МГУ, 1969. 24-37.
  5. Бакушинский А.Б. Регуляризующие алгоритмы для решения некорректных экстремальных задач // Методы управления большими системами. 1 . Иркутск, 1970. 223-235.
  6. Морозов В.А. Методы решения неустойчивых задач. М.: ВЦ МГУ, 1967.
  7. Морозов В.А. О решении методом регуляризации некорректно поставленных задач с нелинейными неограниченными операторами // Дифф. уравнения. 1970. T. YI , № 8. 1453-1458.
  8. Поляк Б.Т. Теоремы существования и сходимости минимизирующих последовательностей для задачи на экстремум при наличии ограничений // Докл. АН. СССР. 1966. 166, № 2. 287-290.
  9. Морозов В.А. Об одном устойчивом методе вычисления значений неограниченных операторов // Докл. АН СССР. 1969. 185, № 2. 267-270.
  10. Морозов В.А., Кирсанова Н.Н. Об одном обобщении метода регуляризации // Вычислит. методы и программирование. Вып. XIY. М.: Изд-во МГУ, 1970. 17-23.
  11. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. 160, № 6. 1089-1094.
  12. Васин В.В. Некорректные задачи в B-пространствах и их приближенное решение вариационными методами // Автореферат кандидатской диссертации. Свердловск, 1970.
  13. Морозов В.А. Об устойчивости задачи определения параметров // Вычислительные методы и программирование. Вып. XIY. М.: Изд-во МГУ, 1970. 63-66.
  14. Турчин В.Ф. Решение уравнения Фредгольма I-го рода в статистическом ансамбле гладких функций // Ж. вычислит. матем. и матем. физики. 1967. 7, № 6. 931-937.
  15. Турчин В.Ф., Нозик В.З. Статистическая регуляризация решения некорректных задач // Физика атмосферы и океана. 1969. T. Y , № 1. 29-37.
  16. Канторович Л.В. О новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений // Сиб. матем. журнал. 1962. T. III , № 5. 701-709.
  17. Phillips D. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind // J. Assoc. Comput. Machinery. 1962. 9, N 1. 84-97.
  18. Морозов В.А. О выборе параметра при решении функциональных уравнений методом регуляризации // Докл. АН СССР. 1967. 175, № 6. 1225-1228.
  19. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Ж. вычислит. матем. и матем. физики. 1966. 6, № 6. 1089-1093.
  20. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // Ж. вычислит. матем. и матем. физики. 1968. 8, № 2. 295-309.
  21. Морозов В.А. Об оценках погрешности решения некорректно поставленных задач с линейными неограниченными операторами // Ж. вычислит. матем. и матем. физики. 1970. 10, № 5. 1081-1091.
  22. Иванов В.К. Линейные неустойчивые задачи с многозначными операторами // Сиб. матем. журнал. 1970. T. XI , № 5. 1009-1016.
  23. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сб. 1963. 61 , вып. 2. 211-223.
  24. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Аппроксимативная компактность и чебышевские множества // Докл. АН СССР. 1961. 140, № 3. 522-524.
  25. Singer J. Some remarks on approximative compactness // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1964. 9, N 2. 167-177.
  26. Шолохович В.Ф. Неустойчивые экстремальные задачи и геометрические свойства единичной сферы в пространстве Банаха // Изв. ВУЗов. Математика. 1970 (аннотация статьи).
  27. Морозов В.А. О восстановлении функций методом регуляризации // Ж. вычислит. матем. и матем. физики. 1967. 7, № 4. 874-881.
  28. Тихонов А.Н. О методах регуляризации задач оптимального управления // Докл. АН СССР. 1965. 162, № 4. 763-765.
  29. Морозов В.А. О псевдорешениях // Ж. вычислит. матем. и матем. физики. 1969. 9, № 6. 1387-1391.
  30. Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода // Докл. АН СССР. 1965. 161, № 5. 1023-1026.
  31. Лисковец О.А. Регуляризация некорректных задач и связь с методом квазирешений // Дифф. уравнения. 1969. T. Y , № 10. 1836-1844.
  32. Лисковец О.А. Регуляризация уравнений с замкнутым оператором // Дифф. уравнения. 1970. T. YI , № 7. 1273-1278.
  33. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.
  34. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002.
  35. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.
  36. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.
  37. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач. Алгоритмический аспект. М.: Изд-во МГУ, 1993.
  38. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.
  39. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987.