The inverse problem of synthesis of optical elements for laser radiation

Authors

Keywords:

лазерное излучение, лазерная обработка материалов, геометрическая оптика, уравнение Монжа-Ампера, оптические элементы, визуализация

Abstract

The problems of formation of laser radiation are of great importance for a wide range of applications: telecommunications, laser metal processing, holography, etc. This paper addresses the formation of rectangular laser beams with uniform intensity distribution. Such problems prove to be beyond the limited capabilities of common optical elements. Thus, the problem considered is reduced to computing the phase function of a flat optical element that forms the required image. Elements with smooth phase functions are shown to have important advantages from the viewpoint of practical implementation. We formulate the problem of the domain-to-domain formation of laser radiation in the approximation of geometric optics. This nonlinear problem is reduced to nonlinear Monge-Ampere equation and is shown to have a solution which is not unique. An efficient numerical algorithm is proposed.

Author Biographies

A.A. Goncharsky

D.V. Tunitsky

References

  1. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. Москва: Наука, 1988.
  2. Евграфов М.А. Аналитические функции. Москва: Наука, 1991.
  3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Москва: Наука, 1977.
  4. Лычагин В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка // УМН. 1979. 34, вып. 1(205). 137-165.
  5. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. Москва: Наука, 1979.
  6. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. Москва: Мир, 1987.
  7. Jordan J.A., Hirsch P.M., Lesem L.B., Van Roy D.L. Kinoform lenses // Appl. Opt. 1970. 9, N 8. 1883-1887.
  8. Furman Sh.A., Tikhonravov A.V. Basics of optics of multilayer systems. Gif-sur-Yvette: Editions Frontier, 1992.
  9. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1962.
  10. Виноградов А.М. Многозначные решения и принцип классификации нелинейных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1973. 210, № 1. 11-14.
  11. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.
  12. Туницкий Д.В. О контактной линеаризации уравнений Монжа- Ампера // Известия РАН. Сер. матем. 1996. 60, № 2. 195-220.
  13. Туницкий Д.В. О глобальной разрешимости гиперболических уравнений Монжа- Ампера // Известия РАН. Сер. матем. 1997. 61, № 5. 177-224.
  14. Lewy H. A priory limitations for solutions of Monge- Ampere equations. I // Trans. Amer. Math. Soc. 1935. 37. 417-434.
  15. Lewy H. A priory limitations for solutions of Monge- Ampere equations. II // Trans. Amer. Math. Soc. 1937. 41. 365-374.
  16. Туницкий Д.В. Эквивалентность и характеристические связности уравнений Монжа- Ампера // Матем. сб-к. 1997. 188, № 5. 131-157.
  17. Гончарский А.В., Попов В.В., Степанов В.В. Введение в компьютерную оптику. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.
  18. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.
  19. Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969.
  20. Гончарский А.А., Романов С.Ю., Туницкий Д.В. О некоторых обратных задачах синтеза плоской компьютерной оптики // Численный анализ: теория, приложения, программы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. 163-172.
  21. Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.
  22. Постников М.М. Гладкие многообразия. М.: Наука, 1987.
  23. Постников М.М. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1988.
  24. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988.

Published

08-06-2006

How to Cite

Гончарский А.А., Туницкий Д.В. The Inverse Problem of Synthesis of Optical Elements for Laser Radiation // Numerical Methods and Programming (Vychislitel’nye Metody i Programmirovanie). 2006. 7. 138-162

Issue

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Most read articles by the same author(s)