Kinetic schemes for the gas dynamics equations

Authors

  • A.V. Safronov

Keywords:

гиперболические уравнения
схемы типа Годунова
газодинамика
задача Римана
разностные схемы

Abstract

In addition to the approximation of mass, momentum, and energy conservation laws, in numerical solutions to the gas dynamics equations it is necessary to require that the entropy should not decrease. The fulfillment of this entropy condition allows one to obtain a unique solution to the problem under study if its solution is uniquely specified by initial and boundary conditions. However, such a fulfillment represents a difficulty for numerical calculations. In the case of hyperbolic equations, an entropy decrease is excluded by introducing the Neumann’s artificial viscosity, by the application of Godunov’s method with the exact solution to the Riemann problem and with approximate solutions whose schematic viscosity is greater than that for the exact one, and by the application of the relaxation kinetic method. In this paper, the example of the scalar conservation law is used to conduct the entropy analysis modifications for Godunov-type schemes. New kinetic versions of numerical methods for the gas dynamics equations are proposed on the basis of flux approximations at the cell boundaries with the use of approximate Riemann solvers and jump conditions with the maximum estimation of wave speeds.

New computational technologies

Downloads

Published

2009-01-29

Issue

Vol. 10 (2009): Issue 1.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biography

A.V. Safronov

JSC «Central Research Institute for Machine Building»
• Chief Specialist

References

  1. Neumann J., Richtmayer R. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks // J. Appl. Phys. 1950. 21, N 3. 232-237. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Под ред.
  2. С. К. Годунова. М.: Наука, 1976.
  3. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1954. 7. 345-392.
  4. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Comm. Pure Appl. Math. 1954. 7. 159-193.
  5. Русанов В.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1961. 1, № 2. 267-279.
  6. Harten A., Lax P.D., van Leer B. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws // SIAM J. Numer. Anal. 1981. 18. 289-315.
  7. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes // J. Comput. Phys. 1981. 43, N 2. 357-372.
  8. Enguist B., Osher S. One-sided difference approximation for nonlinear conservation laws // Math. Comp. 1981. 36. 321-351.
  9. Osher S. Riemann solvers, the entropy condition, and difference approximations // SIAM J. Numer. Anal. 1984. 21, N 2. 217-235.
  10. Toro E.F., Spruce M., Speares S. Restoration of the contact surface in the HLL Riemann solver // Shock Waves. 1994. 4. 25-34.
  11. Batten P., Clarke N., Lambert C., Causon D.M. On the choice of savespeeds for the HLLC Riemann solver // SIAM J. Comput. 1997. 18, N 6. 1553-1570.
  12. Jin S., Xin Z.P. The relaxation schemes for systems of conservation laws in arbitrary space dimensions // Comm. Pure Appl. Math. 1995. 48. 235-276.
  13. Chen G.-Q., LeFloch P.G. Entropy flux-splittings for hyperbolic conservation laws. Part I: General framework // Comm. Pure Appl. Math. 1995. 48. 691-729.
  14. LeVeque R.J., Pelanti M. A class of approximate Riemann solvers and their relation to relaxation schemes // J. Comput. Phys. 2001. 172. 573-591.
  15. Tadmor E. Entropy stability theory for difference approximations of nonlinear conservation laws and related time-dependent problems // Acta Numerica. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. 451-512.
  16. Bouchut F. Entropy satisfying flux vector splittings and kinetic BGK models // Numer. Math. 2003. 94. 623-672.
  17. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.
  18. Toro E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Berlin: Springer, 1999.
  19. LeVeque R.J. Finite volume methods for hyperbolic problems. Cambridge Univ. Texts in Applied Mathematics. Cambridge, 2004.
  20. Stein E., de Borst R., Hughes T. Encyclopedia of computational mechanics. London: Wiley, 2004.
  21. Колган В.П. Применение принципа минимальных производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. 1972. 3, № 6. 68-77.
  22. Leer B. Upwind and high-resolution methods for compressible flow: from donor cell to residual-distribution schemes // Commun. Comput. Phys. 2006. 1, N 2. 192-206.
  23. Berger M., Aftosmis M.J. Analysis of slope limiters on irregular grids // AIAA Paper 2005-0490. 2005.
  24. Сафронов А.В. Способ стабилизации сеточно-характеристических схем для уравнений газодинамики // Вычислительные методы и программирование. 2007. 8, № 1. 10-13.
  25. Einfeldt B. On Godunov-type methods for gas dynamics // SIAM J. Num. Anal. 1988. 25, 294-318.
  26. Сафронов А.В. Разностный метод решения нестационарных уравнений газодинамики на основе соотношений на разрывах // Космонавтика и ракетостроение. 2006. Bып. 2(43). 152-158.
  27. Honkkila V., Janhunen P. HLLC solver for ideal relativistic MHD // J. Comput. Physics. 2007. 223. 643-656.
  28. Bouchut F., Klingenberg C., Waagan K. A multiwave approximate Riemann solver for ideal MHD based on relaxation: theoretical framework // Numer. Math. 2007. 108, N 1. 7-41.
  29. Сафронов А.В. Разностный метод для уравнений газодинамики из соотношений на разрывах // Математическое моделирование. 2008. 20, № 2. 76-84.
  30. Pandolfi M., D’Ambrosio D. Numerical instabilities in upwind methods: Analysis and cures for the «carbuncle» phenomenon // J. Comput. Phys. 2001. 166. 271-301.
  31. Сафронов А.В. Разностная схема для нестационарных уравнений газодинамики на основе соотношений на разрывах в консервативных переменных // Вычислительные методы и программирование. 2007. 8, № 1. 73-80.
  32. Олейник О.А. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения // Успехи матем. наук. 1959. 14, № 2. 165-170.
  33. Tadmor E. Numerical viscosity and the entropy condition for conservative difference schemes // Math. Comp. 1984. 43. 369-381.
  34. Lax P., Wendroff B. Systems of conservation laws // Comm. Pure Appl. Math. 1960. 13. 217-237.
  35. Toro E.F., Titarev V.A. MUSTA fluxes for systems of conservation laws // J. Comput. Physics. 2006. 216. 403-429.
  36. Прокопов Г.П. Необходимость контроля энтропии в газодинамических расчетах // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2007. 47, № 9. 1591-1601.
  37. Сафронов А.В. Об энтропии в численных схемах газодинамики на основе соотношений на разрывах // XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам». Тезисы докладов. Дюрсо, 2008.
  38. Chen G.Q., Levermore C.D., Liu T.P. Hyperbolic conservation laws with stiff relaxation terms and entropy // Comm. Pure Appl. Math. 1994. 47. 787-830.
  39. Сафронов А.В. Численный метод расчета струй продуктов сгорания при старте ракет // Космонавтика и ракетостроение. 2007. № 1(46). 72-79.