Two-sided estimates for the eigenvalues of the Laplace operator with Dirichlet boundary conditions and their application to problems in the mathematical theory of waveguides

Authors

  • A.N. Bogolyubov
  • M.D. Malykh
  • A.A. Panin

Keywords:

eigenvalues of Laplace operator
two-sided estimates
trapping modes of waveguides
cut-off frequencies

Abstract

Reliable two-sided algorithmically simple estimates for the eigenvalues of the Laplace operator in convex polygons with Dirichlet boundary conditions are obtained. These estimates are applied to the existence problem for the trapping modes of waveguides and to the problem of finding the frequency ranges for which the wave radiation occurs without resonance.

New computational technologies

Downloads

Published

2009-02-15

Issue

Vol. 10 (2009): Issue 1.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biographies

A.N. Bogolyubov

Lomonosov Moscow State University,
Faculty of Physics
• Professor

M.D. Malykh

Lomonosov Moscow State University,
Faculty of Physics
• Assistant

A.A. Panin

Lomonosov Moscow State University,
Faculty of Physics
• PhD Student

References

  1. Nakao M.T., Hashimoto K. Constructive error estimates of finite element approximations for non-coercive elliptic problems and its applications (http://hdl.handle.net/2324/3405).
  2. Боголюбов А.Н., Панин А.А. Об оценке погрешности приближeнного решения эллиптических уравнений с некоэрцитивной билинейной формой // Вычислительные методы и программирование. 2009. 10, № 1. 34-48.
  3. Knyazev A.V., Osborn J.E. New a priori FEM error estimates for eigenvalues // (verb|http://www-math.cudenver.edu/ aknyazev/research/papers/ko05/061304R.pdf|).
  4. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.
  5. Rellich F. Das Eigenwertproblem von riangle u+lambda u=0 in Halbröhren // Studies and Essays Presented to R. Courant. N.-Y., 1948. 329-344.
  6. Jones D.S. The eigenvalues of a^2u+lambda u=0 when the boundary conditions are given on semi-infinite domains // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1953. 49. 668-684.
  7. Werner P. Resonance phenomena in cylindrical waveguides // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1987. 121, N 1. 173-214.
  8. Боголюбов А.Н., Малых М.Д., Панин А.А. Временн’ая асимптотика поля, возбуждаемого в волноводе гармоническим током // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2005. 45, № 12. 2219-2231.
  9. Боголюбов А.Н., Малых М.Д., Панин А.А. Принцип предельной амплитуды для волновода // Вестн. Моск. ун-та. Серия 3. Физика. Астрономия. 2006. № 5. 9-13.
  10. Exner P., Seba P. Bound states in curved quantum waveguides // J. Math. Phys. 1989. 30, N 11. 2574-2580.
  11. Krejvcivr’ik D. Guides d’ondes quantiques bidimensionnels. Thése de Doctorat. Université de Toulon et du Var, Université Charles de Prague. 2001.
  12. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  13. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.
  14. Nakao M.T., Yamamoto N., Kimura S. On the best constant in the error bound for the H^1_0-projection into piecewise polynomial spaces // J. Approx. Theory. 1998. 93, N 3. 491-500.
  15. Natterer F. Berechenbare Fehlerschranken für die Methode der Finiten Elemente // International Series of Numerical Mathematics. Vol. 28. Basel: Birkhäuser Verlag, 1975. 109-121.
  16. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. 1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.
  17. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.
  18. Werner P. Aperiodic electromagnetic waves in cylindrical waveguides // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1987. 121, N 1. 215-272.