Derivation of explicit difference schemes for ordinary differential equations with the aid of Lagrange-Burmann expansions

Authors

  • E.V. Vorozhtsov

Keywords:

ordinary differential equations
Lagrange-Burmann expansion
Runge-Kutta methods
stiff systems

Abstract

Some explicit multistage Runge-Kutta type methods for solving ordinary differential equations (ODEs) are derived with the aid of the expansion of grid functions in the Lagrange-Burmann series. The formulas are given for the first four coefficients of the Lagrange-Burmann expansion. New explicit first- and second-order methods are derived and applied to the numerical integration of the Cauchy problem for a moderately stiff ODE system. It turns out that the L2-norm of the error in the solution obtained by the new numerical second-order method is 50 times smaller than that of the classical second-order Runge-Kutta method.

New computational technologies

Downloads

Published

2010-06-10

Issue

Vol. 11 (2010): Issue 2.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biography

E.V. Vorozhtsov

S.A. Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics of SB RAS
• Leading Researcher

References

  1. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT. 1963. 3. 27-43.
  2. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979.
  3. Houwen van der P., Sommeijer B. On the internal stability of explicit, m-stage Runge-Kutta methods for large m-values // Z. Angew. Math. Mech. 1980. 60. 479-485.
  4. Abdulle A. Chebyshev methods based on orthogonal polynomials. Ph.D. Doctoral Dissertation No. 3266, Dept. Math., Univ. of Geneva, 2001.
  5. Abdulle A. Fourth order Chebyshev methods with recurrence relation // SIAM J. Sci. Comput. 2002. 23. 2041-2054.
  6. Hundsdorfer W., Verwer J. Numerical solutions of time-dependent advection-diffusion-reaction equations. Heidelberg: Springer-Verlag, 2007.
  7. Martin-Vaquero J., Janssen B. Second-order stabilized explicit Runge-Kutta methods for stiff problems // Computer Phys. Communications. 2009. 180. 1802-1810.
  8. Пинчуков В.И., Шу Ч.-В. Численные методы высоких порядков для задач аэрогидродинамики. Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния РАН, 2000.
  9. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.
  10. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
  11. Ворожцов Е.В. Построение разностных схем для гиперболических законов сохранения с помощью разложений Лагранжа-Бюрмана // Труды Междунар. конф. по вычислительной математике / Ред. Г.А. Михайлов, В.П. Ильин, Ю.М. Лаевский. Часть I. Новосибирск: Прайс-курьер, 2004. 443-448.
  12. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. II. М.: Наука, 1977.
  13. Butcher J.C. The numerical analysis of ordinary differential equations. Chichester: Wiley, 1987.
  14. Sofroniou M. Order stars and linear stability theory // J. Symbolic Computation. 1996. 21. 101-131.
  15. Consul P.C., Famoye F. Lagrangian probability distributions. Berlin: Birkh" a user, 2006.
  16. Strampp W., Ganzha V., Vorozhtsov E. H" o here Mathematik mit Mathematica. Band 3: Differentialgleichungen und Numerik. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, 1997.
  17. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.