Application of the integro-interpolation method to the construction of single-step lattice Boltzmann schemes

Authors

  • G.V. Krivovichev

Keywords:

kinetic equations
lattice Boltzmann schemes
single-step methods

Abstract

Single-step lattice Boltzmann scheme families dependent on a parameter are proposed. The construction of the schemes is based on the integral form of the system of kinetic equations obtained by the method of discrete velocities. The schemes are developed using the quadrature formulas of zero and first algebraic degrees. In several cases of parameter values, the second order of approximation takes place. The Lyapunov stability study of the proposed schemes is performed for the case of the absence of coordinate dependency. Two model hydrodynamic problems are considered to illustrate the application of the second-order implicit scheme.

New computational technologies

Downloads

Published

2011-12-19

Issue

Vol. 13 (2012): Issue 1.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biography

G.V. Krivovichev

St Petersburg University,
Faculty of Applied Mathematics and Control Processes
• Associate Professor

References

  1. Wolf-Gladrow D.A. Lattice-gas cellular automata and lattice Boltzmann models - an introduction. Berlin: Springer, 2005.
  2. Chopard B., Dupuis A., Masselot A., Luthi P. Cellular automata and lattice Boltzmann techniques: an approach to model and simulate complex systems // Advances in Complex Systems. 2002. 5, N 2. 1-144.
  3. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999.
  4. Мачин Д.А., Четверушкин Б.Н. Кинетические и lattice Boltzmann схемы // Матем. моделирование. 2004. 16, № 3. 87-94.
  5. Xiong W., Zhang J. A two-dimensional lattice Boltzmann model for uniform channel flows // Computers and Mathematics with Applications. 2011. 61. 3453-3460.
  6. Куперштох А.Л. Метод решеточных уравнений Больцмана для моделирования двухфазных систем типа жидкость-пар // Современная наука. 2010. 2, № 4. 56-63.
  7. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.
  8. Velivelli A.C., Bryden K.M. Parallel performance and accuracy of lattice Boltzmann and traditional finite difference methods for solving the unsteady two-dimensional Burger’s equation // Physica A. 2006. 362. 139-145.
  9. Каменщиков Л.П. Параллельная реализация метода решеточного уравнения Больцмана для задач гидродинамики // Математика в приложениях. Тез. докладов Всероссийской конференции, приуроченной к 80-летию академика С. К. Годунова. Новосибирск, 2009. 133-134.
  10. Kuznik F., Obrecht C., Rusaouen G., Roux J.-J. LBM based flow simulation using GPU computing processor // Computers and Mathematics with Applications. 2010. 59. 2380-2392.
  11. Obrecht C., Kuznik F., Tourancheau B., Roux J.-J. A new approach to the lattice Boltzmann method for graphics processing units // Computers and Mathematics with Applications. 2011. 61. 3628-3638.
  12. Куперштох А.Л. Реализация метода решеточных уравнений Больцмана на многопроцессорных графических ускорителях для 3D моделирования двухфазных систем типа жидкость-пар // Современная наука. 2011. 2, № 7. 112-118.
  13. Грачев Н.Е., Дмитриев А.В., Сенин Д.С. Моделирование динамики газа при помощи решеточного метода Больцмана // Вычислительные методы и программирование. 2011. 12. 227-231.
  14. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Пер. с англ. под ред. С. С. Филиппова. М.: Мир, 1990.
  15. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит, 2001.
  16. Luo L.-S. Some recent results on discrete velocity models and ramifications for lattice Boltzmann equation // Computer Physics Communication. 2000. 129. 63-74.
  17. He X., Luo L.-S. A priori derivation of the lattice Boltzmann equation // Physical Review E. 1997. 55, N 6. R6333-R6336.
  18. Nourgaliev R.R., Dinh T.N., Theofanous T.G., Joseph D. The lattice Boltzmann equation method: theoretical interpretation, numerics and implications // Int. J. of Multiphase Flow. 2003. 29. 117-169.
  19. Dellar P.J. Lattice kinetic schemes for magnetohydrodynamics // J. of Computational Physics. 2002. 179. 95-126.
  20. Min M., Lee T. A spectral-element discontinuous Galerkin lattice Boltzmann method for nearly incompressible flows // J. of Computational Physics. 2011. 230. 245-259.
  21. D’Humieres D., Ginzburg I., Krafczyk M., Lallemand P., Luo L.-S. Multiple-relaxation-time lattice Boltzmann models in three dimensions // Philosophical Transactions of Royal Society of London A. 2002. 360. 437-451.
  22. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.
  23. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.
  24. Worthing R.A., Mozer J., Seeley G. Stability of the lattice Boltzmann models in hydrodynamic regimes // Physical Review E. 1997. 56, N 2. 2243-2253.
  25. Sterling J.D., Chen S. Stability analysis of lattice Boltzmann methods // J. of Computational Physics. 1996. 123. 196-206.
  26. Kupershtokh A.L. Criterion of numerical instability of liquid state in LBE simulations // Computers and Mathematics with Applications. 2010. 59. 2236-2245.
  27. Кривовичев Г.В. Об устойчивости решеточной кинетической схемы Больцмана для расчета плоских течений // Вычислительные методы и программирование. 2011. 12, № 1. 178-188.
  28. Zou Q., He X. On pressure and velocity boundary conditions for the lattice Boltzmann BGK model // Physics of Fluids. 1997. 9, N 6. 1591-1598.
  29. Ghia U., Ghia K.N., Shin C.T. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and multigrid method // J. of Computational Physics. 1982. 48. 387-411.
  30. Rannacher R. Finite element methods for the incompressible Navier-Stokes equations // Fundamental directions in mathematical fluid mechanics / Ed. P. Galdi, J. Heywood, R. Rannacher. Basel: Birkhduser. 2000. 191-293.
  31. www.freefem.org.