An iterative method for computing the flows of a viscoplastic Bingham medium

Authors

  • L.V. Muravleva
  • E.A. Muravleva

Keywords:

viscoplastic Bingham medium
variational inequalities
augmented Lagrange functional
iterative method
semi-staggered grids

Abstract

A finite-difference scheme for computing the planar flows of a viscoplastic Bingham medium is considered. The Duvaut-Lions variational inequality is used as a mathematical model of the medium. The velocity components are approximated on the main mesh, whereas the pressure and the components of the strain-rate and stress tensors are approximated on the nodes of the semi-staggered grid. It is shown that the Uzawa-like iterative method used to solve the variational inequality requires a special adaptation in the case of the discrete problem. As a model example, the numerical solution of the lid-driven cavity problem for a viscoplastic medium is discussed. The obtained results are compared with the known ones. The paper was prepared by E.A. Muravleva when visiting Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences, 04103, Leipzig, Germany. This work was partially supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects 11-01-00181a and 09-01-00565a).

New computational technologies

Downloads

Published

2012-02-20

Issue

Vol. 13 (2012): Issue 1.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biographies

L.V. Muravleva

Lomonosov Moscow State University,
Faculty of Mechanics and Mathematics
• Associate Professor

E.A. Muravleva

Lomonosov Moscow State University,
Faculty of Mechanics and Mathematics
• Junior Researcher

References

  1. Shwedov F.N. La rigidité de liquides // Rapport Congr. Intern. Phys. Paris. 1900. 1. 478-486.
  2. Bingham F.C. Fluidity and plasticity. New York: McGraw-Hill, 1922.
  3. Генки Г. Пространственная задача упругого и пластического равновесия // Изв. АН СССР. Механика. ОТН. 1937. № 2. 187-196.
  4. Ильюшин А.А. Деформация вязко-пластического тела // Уч. записки МГУ. Механика. 1940. Вып. 39. 3-81.
  5. Oldroyd J.G. Two-dimensional plastic flow of a Bingham solid. A plastic boundary-layer theory for slow motion // Proc. Camb. Phil. Soc. 1947. 43. 383-395.
  6. Prager W. On slow visco-plastic flow // Studies in Mathematics and Mechanics. New York: Academic Press, 1954. 208-216.
  7. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений жестко-вязкопластических сред. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1971.
  8. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.
  9. Byron-Bird R., Dai G.C., Yarusso B.J. The rheology and flow of viscoplastic materials // Rev. Chem. Eng. 1983. 1, N 1. 2-70.
  10. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластичных сред. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1970.
  11. Магомедов О.Б., Победря Б.Е. Некоторые задачи вязкоупругопластического течения // Упругость и неупругость. Вып. 4. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1975. 152-169.
  12. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989.
  13. Ladyzhenskaya O.A., Seregin G.A. On semigroups generated by initial-boundary value problems describing two-dimensional visco-plastic flows // Amer. Math. Soc. Transl. 1995. 164. 99-123.
  14. Fuchs M., Seregin G.A. Variational methods for problems from plasticity theory and for generalized Newtonian fluids. Berlin: Springer, 2000.
  15. Repin S. A posteriori estimates for partial differential equations. Berlin: De Gruyter, 2008.
  16. Shelukhin V.V. Bingham viscoplastic as a limit of non-Newtonian fluids // J. Math. Fluid Mech. 2002. 4, N 2. 109-127.
  17. Мамонтов А.Е. Существование глобальных решений многомерных уравнений сжимаемой жидкости Бингама // Матем. заметки. 2007. 82, № 4. 560-577.
  18. Bercovier M., Engelman M. A finite element method for incompressible non-Newtonian flows // J. Comp. Phys. 1980. 36. 313-326.
  19. Papanastasiou T.C. Flows of materials with yield // J. Rheol. 1987. 31, N 5. 385-404.
  20. Chatzimina M., Georgiou G.C., Argyropaidas I., Mitsoulis E., Huilgol R.R. Cessation of Couette and Poiseuille flows of a Bingham plastic and finite stopping times // J. Non-Newtonian Fluid. Mech. 2005. 129. 117-127.
  21. Muravleva L.V., Muravleva E.A., Georgiou G.C., Mitsoulis E. Numerical simulations of cessation flows of a Bingham plastic with the augmented Lagrangian method // J. Non-Newtonian Fluid. Mech. 2010. 165, N 9, 10. 544-550.
  22. Muravleva L.V., Muravleva E.A., Georgiou G.C., Mitsoulis E. Uzawa-like algorithm on semi-staggered grids for unsteady Bingham medium flows // Rheol. Acta. 2010. 49, N 11, 12. 1197-1206.
  23. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002.
  24. Гловински Р., Лионс Ж.Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979.
  25. Glowinski R., Fortin M. Methodes de Lagrangien augumente, applications a la resolution de problemes aux limites. Dunod: Paris, 1982.
  26. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.
  27. Антипин А.С. Методы решения вариационных неравенств со связанными ограничениями // ЖВМ и МФ. 2000. 40, № 3. 1291-1307.
  28. Лапин А.В. Введение в теорию вариационных неравенств. Казань: Изд-во КГУ, 1981.
  29. Кравчук А.С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М. : МГАПИ, 1997.
  30. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.
  31. Муравлева Е.А. Численные методы на основе вариационных неравенств для вязкопластической среды Бингама. Дисс. …. Москва, 2010.
  32. Муравлева Е.А. О ядре дискретного оператора градиента // Вычислительные методы и программирование. 2008. 9, № 1. 97-104.
  33. Лебедев В.И. О методе сеток для одной системы уравнений в частных производных // Изв. АН СССР. Математика. 1958. 22, № 5. 717-734.
  34. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений, фундаментальных дифференциальных операторов и основных начально-краевых задач математической физики // ЖВМ и МФ. 1964. 4, № 3. 449-465.
  35. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках // Математическое моделирование. 1997. 9, № 4. 85-114.
  36. Muravleva L.V., Muravleva E.A. Uzawa-like algorithm on semi-staggered grids for unsteady Bingham medium flows // Rus. J. Num. Anal. and Math. Modelling. 2009. 24, N 6. 543-563.
  37. Oseledets I.V., Muravleva E.A. Fast orthogonalization to the kernel of the discrete gradient operator with application to Stokes problem // Lin. Alg. Appl. 2010. 432, N 6. 1492-1500.
  38. Berrone S. Adaptive discretization of the Navier-Stokes equations by stabilized finite element methods // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2001. 190(40). 4435-4455.
  39. Mitsoulis E., Zisis Th. Flow of Bingham plastics in a lid-driven cavity // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2001. 101. 173-180.
  40. Vola D., Boscardin L., Latche J.C. Laminar unsteady flows of Bingham fluids: a numerical strategy and some benchmark results // J. Comp. Phys. 2003. 187. 441-456.
  41. Dean E.J., Glowinski R., Guidoboni G. On the numerical simulation of Bingham visco-plastic flow: old and new results // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2007. 142. 36-62.