A method of solving the Cauchy problem for ordinary differential equations using Chebyshev series

Authors

  • O.B. Arushanyan
  • N.I. Volchenskova
  • S.F. Zaletkin

Keywords:

ordinary differential equations
approximate analytic methods
numerical methods
orthogonal expansions
shifted Chebyshev series
Markov’s quadrature formulas

Abstract

A numerical analytic method of solving the Cauchy problem for normal systems of ordinary differential equations is proposed. The method is based on the approximation of the solution and its derivative by partial sums of shifted Chebyshev series. The coefficients of the series are determined by an iterative process with the use of Markov’s quadrature with one or two fixed nodes. The method yields an analytic representation of the solution and its derivative and can be used to solve ordinary differential equations with a higher accuracy and with a larger discretization step in comparison to the Runge-Kutta and Adams methods.

New computational technologies

Downloads

Published

2013-04-23

Issue

Vol. 14 (2013): Issue 2.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biographies

O.B. Arushanyan

Lomonosov Moscow State University,
Research Computing Center
• Head of Laboratory

N.I. Volchenskova

Lomonosov Moscow State University,
Research Computing Center
• Senior Researcher

S.F. Zaletkin

Lomonosov Moscow State University,
Research Computing Center
• Senior Researcher

References

  1. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961.
  2. Дзядык В.К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1988.
  3. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983.
  4. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972.
  5. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М: Наука, 1986.
  6. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1998.
  7. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Алгебраические основы численного анализа. Новосибирск: Наука, 1986.
  8. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. О применении формулы численного интегрирования Маркова в ортогональных разложениях // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2009. № 6. 18-22.
  9. Залеткин С.Ф. Формула численного интегрирования Маркова с двумя фиксированными узлами и ее применение в ортогональных разложениях // Вычислительные методы и программирование. 2005. 6, № 1. 141-157.
  10. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О некоторых свойствах частичных сумм рядов Чебышева // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2009. 14, № 3. 26-34.
  11. Залеткин С.Ф. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием ортогональных разложений // Математическое моделирование. 2010. 22, № 1. 69-85.
  12. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.
  13. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. 2. М.: Физматгиз, 1962.
  14. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2007.
  15. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Приближенное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе ортогональных разложений // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2009. 14, № 4. 59-68.
  16. Arushanyan O.B., Zaletkin S.F. Application of Markov’s quadrature in orthogonal expansions // Moscow University Mathematics Bulletin. 2009. 64, № 6. 244-248.
  17. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О применении ортогональных разложений для приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2010. № 4. 40-43.
  18. Arushanyan O.B., Volchenskova N.I., Zaletkin S.F. Application of orthogonal expansions for approximate integration of ordinary differential equations // Moscow University Mathematics Bulletin. 2010. 65, № 4. 172-175.
  19. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Чебышева // Сибирские электронные математические известия. 2010. 7. 122-131.
  20. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О вычислении коэффициентов рядов Чебышева для решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Сибирские электронные математические известия. 2011. 8. 273-283.
  21. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О вычислении коэффициентов ортогональных разложений решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2011. 16, № 2. 41-47.
  22. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышева // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2012. № 5. 24-30.
  23. Arushanyan O.B., Volchenskova N.I., Zaletkin S.F. Calculation of expansion coefficients of series in Chebyshev polinomials for a solution to a Cauchy problem // Moscow University Mathematics Bulletin. 2012. 67, № 5/6. 211-216.
  24. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир, 1979.
  25. Gear C.W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1971.
  26. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.
  27. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
  28. Беликов М.В. Метод численного интегрирования с чебышевской аппроксимацией для решения задач эфемеридной астрономии. Препринт № 4. Ленинград: Ин-т теор. астрономии, 1990.
  29. Беликов М.В., Трубицина А.А. Метод полиномиальной аппроксимации эфемеридных данных. Препринт № 10. Ленинград: Ин-т теор. астрономии, 1990.
  30. Arushanyan O.B., Volchenskova N.I., Zaletkin S.F. On the calculation of Chebyshev series for solutions of ordinary differential equations // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2011. 8. 273-283.
  31. Arushanyan O.B., Volchenskova N.I., Zaletkin S.F. Approximate solution of ordinary differential equations using Chebyshev solutions // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2010. 7. 122-131.