Pointwise extra-optimal regularizing algorithms

Authors

  • A.S. Leonov

Keywords:

ill-posed problems
regularizing algorithms (RA)
pointwise a posteriori accuracy estimates
pointwise extra-optimal regularizing algorithms

Abstract

Pointwise a posteriori accuracy estimates for approximate solutions to multidimensional inverse ill-posed problems, i.e. for functions of several variables, are considered. The estimates are constructed for given values of the argument of an approximate solution found by a regularizing algorithm (RA). A technique for calculation of pointwise a posteriori estimates is proposed. A new notion of a pointwise extra-optimal regularizing algorithm is introduced as a method for the solution of ill-posed problems with a posteriori pointwise accuracy estimate optimal in order for every given argument. A number of examples of pointwise extra-optimal regularizing algorithms are discussed. The proposed theory is illustrated by numerical experiments.

New computational technologies

Downloads

Published

2013-04-28

Issue

Vol. 14 (2013): Issue 2.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biography

A.S. Leonov

National Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute)
• Professor

References

  1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
  2. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. M.: Наука, 1995.
  3. Гапоненко Ю.Л., Винокуров В.А. Апостериорные оценки решения некорректных обратных задач // Доклады АН СССР. 1982. 263, № 2. 277-280.
  4. Дорофеев К.Ю., Титаренко В.Н., Ягола А.Г. Алгоритмы построения апостериорных оценок погрешностей для некорректных задач // ЖВМ и МФ. 2003. 43, № 1. 12-25.
  5. Ягола А.Г., Николаева Н.Н., Титаренко В.Н. Оценка погрешности решения уравнения Абеля на множествах монотонных и выпуклых функций // Сиб. ЖВМ. 2003. 6, № 2. 171-180.
  6. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач. Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.
  7. Леонов А.С. Об апостериорных оценках точности решения линейных некорректно поставленных задач и экстраоптимальных регуляризующих алгоритмах // Вычислительные методы и программирование. 2010. 11, № 1. 14-24.
  8. Леонов А.С. Экстраоптимальные апостериорные оценки точности решения некорректных задач продолжения потенциальных геофизических полей // Физика Земли. 2011. № 6. 69-78.
  9. Леонов А.С. Апостериорные оценки точности решения некорректно поставленных обратных задач и экстраоптимальные регуляризующие алгоритмы их решения // Сиб. ЖВМ. 2012. 15, № 1. 85-102.
  10. Leonov A.S. Extra-optimal methods for solving ill-posed problems // J. of Inverse and Ill-posed Problems. 20, Issue 5-6. 637-665.
  11. Бакушинский А.Б. Апостериорные оценки точности для приближенных решений нерегулярных операторных уравнений // Доклады РАН. 2011. 437, № 4. 439-440.
  12. Bakushinsky A.B., Smirnova A., Liu Hui. A posteriori error analysis for unstable models // J. of Inverse and Ill-posed Problems. 2012. 20, Issue 4. 411-428.
  13. Korolev Yu.M., Yagola A.G. On inverse problems in partially ordered spaces with a priori information // J. of Inverse and Ill-posed Problems. 2012. 20, Issue 4. 567-573.
  14. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.
  15. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.
  16. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.
  17. Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Изд-во ТГУ, 1982.
  18. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та, 1987.
  19. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.
  20. Иванов В.Л., Королюк Т.И. Об оценке погрешностей при решении линейных некорректно поставленных задач // ЖВМ и МФ. 1969. 9, № 1. 30-41.
  21. Хилл Э. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1951.
  22. Леонов А.С. Численная реализация специальных регуляризующих алгоритмов для решения одного класса некорректных задач с истокообразно представимыми решениями // Сиб. ЖВМ. 2001. 4, № 3. 269-280.
  23. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.