The method of collocations and least residuals for three-dimensional Navier-Stokes equations

Authors

  • V.P. Shapeev
  • E.V. Vorozhtsov
  • V.I. Isaev
  • S.V. Idimeshev

Keywords:

three-dimensional Navier-Stokes equations
method of collocations and least residuals
cubic cavity flow
overdetermined linear system
Krylov’s subspaces

Abstract

The method of collocations and least residuals, which was previously proposed for the numerical solution of two-dimensional Navier-Stokes equations, is extended for the three-dimensional case. In the implemented version of the method, the solution is sought in the form of an expansion in basis solenoidal functions. An overdetermined system of linear algebraic equations is obtained in each cell of the computational grid. This system is solved by the method of rotations. To accelerate the iteration process convergence, a new algorithm is proposed on the basis of Krylov’s subspaces. The results of the method’s verification confirm its second order of convergence for the velocity vector components. The results of solving the benchmark problem of a lid-driven cubic cavity flow for the Reynolds numbers Re = 100 and Re = 1000 are discussed. It is shown that the obtained results are very close to the most accurate results obtained by other authors with the aid of different numerical high-accuracy methods.

New computational technologies

Downloads

Published

2013-06-26

Issue

Vol. 14 (2013): Issue 3.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biographies

V.P. Shapeev

Novosibirsk State University
• Chief Researcher

E.V. Vorozhtsov

S.A. Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics of SB RAS
• Leading Researcher

V.I. Isaev

Novosibirsk State University
• Assistant

S.V. Idimeshev

Institute of Computational Technologies of SB RAS (ICT SB RAS)
• PhD Student

References

  1. Kirkpatrick M.P., Armfield S.W., Kent J.H. A representation of curved boundaries for the solution of the Navier-Stokes equations on a staggered three-dimensional Cartesian grid // J. Comput. Phys. 2003. 184, N 1. 1-36.
  2. Marella S., Krishnan S., Liu H., Udaykumar H.S. Sharp interface Cartesian grid method I: an easily implemented technique for 3D moving boundary computations // J. Comput. Phys. 2005. 210, N 1. 1-31.
  3. Uhlmann M. An immersed boundary method with direct forcing for the simulation of particulate flows // J. Comput. Phys. 2005. 209, N 2. 448-476.
  4. Pinelli A., Naqavi I.Z., Piomelli U., Favier J. Immersed-boundary methods for general finite-difference and finite-volume Navier-Stokes solvers // J. Comput. Phys. 2010. 229, N 24. 9073-9091.
  5. Kim J., Moin P. Application of a fractional-step method to incompressible Navier-Stokes equations // J. Comput. Phys. 1985. 59, N 2. 308-323.
  6. Wesseling P. Principles of computational fluid dynamics. Heidelberg: Springer, 2001.
  7. Chibisov D., Ganzha V., Mayr E.W., Vorozhtsov E.V. Stability investigation of a difference scheme for incompressible Navier-Stokes equations // Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4770. Heidelberg: Springer, 2007. 102-117.
  8. Brown D.L., Cortez R., Minion M.L. Accurate projection methods for the incompressible Navier-Stokes equations // J. Comput. Phys. 2001. 168, N 2. 464-499.
  9. Ferziger J.H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. Heidelberg: Springer, 2002.
  10. Malan A.G., Lewis R.W., Nithiarasu P. An improved unsteady, unstructured artificial compressibility, finite volume scheme for viscous incompressible flows. Part I. Theory and implementation // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2002. 54, N 5. 695-714.
  11. Muldoon F., Acharya S. A modification of the artificial compressibility algorithm with improved convergence characteristics // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2007. 55, N 4. 307-345.
  12. Семин Л.Г., Слепцов А.Г., Шапеев В.П. Метод коллокаций-наименьших квадратов для уравнений Стокса // Вычисл. технологии. 1996. 1, № 2. 90-98.
  13. Semin L., Shapeev V. Constructing the numerical method for Navier-Stokes equations using computer algebra system // Lecture Notes in Computer Science. Vol. 3718. Heidelberg: Springer, 2005. 367-378.
  14. Валиуллин А.Н., Ганжа В.Г., Мурзин Ф.А., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Применение символьных преобразований на ЭВМ для построения и анализа разностных схем. Препринт № 7. Ин-т теорет. и прикл. механики АН СССР. Новосибирск, 1981.
  15. Валиуллин А.Н., Ганжа В.Г., Ильин В.П., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Задача автоматического построения и исследования на ЭВМ разностных схем в аналитическом виде // Доклады АН СССР. 1984. 275, № 3. 528-532.
  16. Ganzha V.G., Mazurik S.I., Shapeev V.P. Symbolic manipulations on a computer and their application to generation and investigation of difference schemes // Lecture Notes in Computer Science. Vol. 204. Berlin: Springer, 1985. 335-347.
  17. Shapeev A.V. Application of computer algebra systems to construct high-order difference schemes // Proc. 6th IMACS Int. IMACS Conf. on Applications of Computer Algebra. June 25-28, 2000. Univ. of St. Petersburg. St. Petersburg, 2000. 92-93.
  18. Shapeev V.P., Isaev V.I., Idimeshev S.V. The collocations and least squares method: application to numerical solution of the Navier-Stokes equations // CD-ROM Proc. 6th ECCOMAS. Sept. 2012. Vienna Univ. of Tech. Vienna, 2012.
  19. Shapeev V.P., Vorozhtsov E.V. Symbolic-numeric implementation of the method of collocations and least squares for 3D Navier-Stokes equations // Lecture Notes in Computer Science. Vol. 7442. Heidelberg: Springer, 2012. 321-333.
  20. Исаев В.И., Шапеев В.П. Развитие метода коллокаций и наименьших квадратов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2008. 14, № 1. 41-60.
  21. Исаев В.И., Шапеев В.П. Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. 50, № 10. 1758-1770.
  22. Исаев В.И., Шапеев В.П. Метод коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для решения уравнений Навье-Стокса // Доклады РАН. 2012. 442, № 4. 442-445.
  23. Botella O., Peyret R. Benchmark spectral results on the lid-driven cavity flow // Comput. Fluids. 1998. 27, N 4. 421-433.
  24. Shapeev A.V., Lin P. An asymptotic fitting finite element method with exponential mesh refinement for accurate computation of corner eddies in viscous flows // SIAM J. Sci. Comput. 2009. 31, N 3. 1874-1900.
  25. Гаранжа В.А., Коньшин В.Н. Численные алгоритмы для течений вязкой жидкости, основанные на консервативных компактных схемах высокого порядка аппроксимации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. 39, № 8. 1378-1392.
  26. Erturk E., Gokcol C. Fourth order compact formulation of Navier-Stokes equations and driven cavity flow at high Reynolds numbers // Int. J. Numer. Methods Fluids. 2006. 50, N 4. 421-436.
  27. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.
  28. Ascher U., Christiansen J., Russell R.D. A collocation solver for mixed order systems of boundary value problems // Math. Comput. 1979. 33, N 146. 659-679.
  29. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.
  30. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.
  31. Schwarz H.A. Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren // Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich. 1870. 15. 272-286.
  32. Ворожцов Е.В. Некоторые особенности применения системы Mathematica в научных исследованиях и образовательном процессе // Информатизация образования и науки. 2012. № 3. 116-127.
  33. Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем // Изв. АН СССР. Отд. матем. и естеств. наук. 1931. № 4. 491-539.
  34. Saad Y., Schultz M.H. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1986. 7. 856-869.
  35. Слепцов А.Г. Об ускорении сходимости линейных итераций // Моделирование в механике. 1989. 3, № 3. 132-147.
  36. Слепцов А.Г. Об ускорении сходимости линейных итераций II // Моделирование в механике. 1989. 3, № 5. 118-125.
  37. Saad Y. Numerical methods for large eigenvalue problems. Manchester: Manchester Univ. Press, 1991.
  38. Babu V., Korpela S. Numerical solution of the incompressible three-dimensional Navier-Stokes equations // Computers &; Fluids. 1994. 23, N 5. 675-691.
  39. Ku H., Hirsh R., Taylor T. A pseudo-spectral method for solution of the three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations // J. Comput. Phys. 1987. 70. 439-462.
  40. Feldman Yu., Gelfgat A.Yu. Oscillatory instability of a three-dimensional lid-driven flow in a cube // Phys. Fluids. 2010. 22. 093602-1-093602-9.
  41. Albensoeder S., Kuhlmann H.C. Accurate three-dimensional lid-driven cavity flow // J. Comput. Phys. 2005. 206, N 2. 536-558.