Using Lagrange principle for solving linear ill-posed problems with a priori information

Authors

  • Ye. Zhang
  • D.V. Lukyanenko
  • A.G. Yagola

Keywords:

ill-posed problems
regularization algorithms
optimal recovery
Lagrange principle
regularization parameter

Abstract

Linear ill-posed problems with a priori information on the exact solution are considered. Using the method of extending compacts, the Lagrange principle and the optimal recovery theory, we propose a method for constructing an optimal regularization algorithm for solving linear ill-posed problems with sourcewise representable solutions and a method of calculating the corresponding optimal worst a posteriori error estimate of the proposed method. A numerical simulation of a heat equation is also considered. This work was partially supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects 11–01–00040, 12–01–00524 and 12–01–91153–NFSC_a).

New computational technologies

Downloads

Published

2013-11-05

Issue

Vol. 14 (2013): Issue 4.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biographies

Ye. Zhang

Lomonosov Moscow State University,
Faculty of Physics
• PhD Student

D.V. Lukyanenko

Lomonosov Moscow State University,
Faculty of Physics
• Assistant

A.G. Yagola

Lomonosov Moscow State University,
Faculty of Physics
• Professor

References

  1. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989.
  2. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.
  3. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач. Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. М.: УРСС, 2009.
  4. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.
  5. Micchelli C.A., Rivlin T.J. Lectures on optimal recovery // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1129. Berlin: Springer, 1985. 21-93.
  6. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Матем. заметки. 1991. 50, № 6. 85-93.
  7. Magaril-Ilyaev G.G., Osipenko K.Y., Tikhomirov V.M. Optimal recovery and extremum theory // Computational methods and function theory. 2002. 2, № 1. 87-112.
  8. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: УРСС, 2000.
  9. Смоляк C.A. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 1965.
  10. Баев А.В. Применение принципа Лагранжа в задаче оптимального обращения линейного оператора в случае истокообразной представимости точного решения операторного уравнения // Вычислительные методы и программирование, 2007. 8. 20-28.
  11. Ягола А.Г., Дорофеев К.Ю. Метод расширяющихся компактов решения некорректных задач при условии истокопредставимости // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1999. № 2. 64-66.
  12. Баев А.В. Принцип Лагранжа и конечномерная аппроксимация в задаче оптимального обращения линейных операторов // Вычислительные методы и программирование. 2006. 7. 323-336.
  13. Баев А.В. Оптимальный регуляризующий алгоритм восстановления функционала в линейных обратных задачах с истокопредставимым решением // Журн. вычислит. матем. и матем. физ. 2008. 48, № 11. 1933-1941.
  14. Баев А.В. Оптимальное восстановление и конечномерная аппроксимация в линейных обратных задачах // Матем. сборник. 2008. 199, № 12. 3-18.
  15. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.
  16. Titarenko V.N., Yagola A.G. Error estimation for ill-posed problems on piecewise convex functions and sourcewise represented sets // J. of Inverse and Ill-posed Problems. 2008. 16, № 6. 625-638.
  17. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.
  18. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
  19. Dantzig G.B. Linear programming and extensions. Princeton: Princeton Univ. Press, 1963.
  20. Ye Y. Interior point algorithm: theory and analysis. New York: Wiley, 1997.
  21. Padberg M. Linear optimization and extensions. Berlin: Springer, 1999.