A lattice Boltzmann scheme for computing on unstructured meshes

Authors

  • G.V. Krivovichev

Keywords:

lattice Boltzmann method
unstructured meshes
finite element method

Abstract

A lattice Boltzmann scheme for computing on unstructured meshes is proposed. The scheme is based on the finite element method with Galerkin approximation. A program realization of the scheme is implemented with the use of the freefem++ v. 3.20 package. The possibility of the scheme application to practical problems is demonstrated by solving two test problems of computational fluid dynamics. The possibility of the use of equilibrium boundary conditions for the distribution functions is discussed for Reynolds number values less than 100.

New computational technologies

Downloads

Published

2013-11-21

Issue

Vol. 14 (2013): Issue 4.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biography

G.V. Krivovichev

St Petersburg University,
Faculty of Applied Mathematics and Control Processes
• Associate Professor

References

  1. Chen S., Doolen G.D. Lattice Boltzmann method for fluid flows // Annual Review of Fluid Mechanics. 1998. 30. 329-364.
  2. Wolf-Gladrow D.A. Lattice-gas cellular automata and lattice Boltzmann models - an introduction. Berlin: Springer-Verlag, 2005.
  3. Грачев Н.Е., Дмитриев А.В., Сенин Д.С. Моделирование динамики газа при помощи решеточного метода Больцмана // Вычислительные методы и программирование. 2011. 12. 227-231.
  4. Бикулов Д.А., Сенин Д.С., Демин Д.С., Дмитриев А.В., Грачев Н.Е. Реализация метода решеточных уравнений Больцмана для расчетов на GPU-кластере // Вычислительные методы и программирование. 2012. 13. 13-19.
  5. Бикулов Д.А., Сенин Д.С. Реализация метода решеточных уравнений Больцмана без хранимых функций распределения для GPU // Вычислительные методы и программирование. 2013. 14. 370-374.
  6. Куперштох А.Л. Трехмерное моделирование двухфазных систем типа жидкость-пар методом решеточных уравнений Больцмана на GPU // Вычислительные методы и программирование. 2012. 13. 130-138.
  7. Куперштох А.Л. Трехмерное моделирование методом LBE на гибридных GPU-кластерах распада бинарной смеси жидкого диэлектрика с растворенным газом на систему парогазовых каналов // Вычислительные методы и программирование. 2012. 13. 384-390.
  8. Гугушвили И.В., Евстигнеев Н.М. Некоторые результаты для различных методов моделирования несжимаемой гидродинамики свободной поверхностью на графических процессорах // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. 2010. 4. 15-23.
  9. Xiong Q.G., Li B., Xu J., Fang X.J., Wang X.W., Wang L.M., He X.F., Ge W. Efficient parallel implementation of the lattice Boltzmann method on large clusters of graphic processing units // Computer Science and Technology. 2012. 57, N 7. 707-715.
  10. Velivelli A.C., Bryden K.M. Parallel performance and accuracy of lattice Boltzmann and traditional finite difference methods for solving the unsteady two-dimensional Bürgers equation // Physica A. 2006. 362. 139-145.
  11. Kupershtokh A.L. A lattice Boltzmann equation method for real fluids with the equation of state known in tabular form only in regions of liquid and vapor phases // Computers and Mathematics with Applications. 2011. 61. 3537-3548.
  12. Schreiber M., Neumann P., Zimmer S., Bungartza H.J. Free-surface lattice-Boltzmann simulation on many-core architectures // Procedia Computer Science. 2011. 4. 984-993.
  13. Zhao Z., Huang P., Li Y., Li J. A lattice Boltzmann method for viscous free surface waves in two dimensions // Int. J. for Numerical Methods in Fluids. 2013. 71. 223-248.
  14. Weichert F., Mertens C., Walczak L., Kern-Isberner G., Wagrer M. A novel approach for connecting temporal-ontologies with blood flow simulations // J. of Biomedical Informatics. 2013. 46. 470-479.
  15. Zhang J. Effect of suspending viscosity on red blood cell dynamics and blood flows in microvessels // Microcirculation. 2011. 18. 562-573.
  16. Погорелова Е.А., Лобанов А.И. Высокопроизводительные вычисления в моделировании крови // Компьютерные исследования и моделирование. 2012. 4, № 4. 917-941.
  17. Pan C., Luo L.S., Miller C.T. An evaluation of lattice Boltzmann schemes for porous medium flow simulation // Computers and Fluids. 2006. 35. 898-909.
  18. Broadwell J.E. Study of rarefied shear flow by the discrete velocity method // J. of Fluid Mechanics. 1964. 19. 401-414.
  19. http://www.freefem.org.
  20. Abe T. Derivation of the lattice Boltzmann method by means of the discrete ordinate method for the Boltzmann equation // J. of Computational Physics. 1997. 131, N 1. 241-246.
  21. He X., Luo L.-S. A priori derivation of the lattice Boltzmann equation // Physical Review E. 1997. 55, N 6. R6333-R6336.
  22. Sofonea V., Sekerka R.F. Viscosity of finite difference lattice Boltzmann models // J. of Computational Physics. 2003. 184. 422-434.
  23. Sofonea V., Lamura A., Gonnella G., Cristea A. Finite-difference lattice Boltzmann model with flux limiters for liquid-vapor systems // Physical Review E. 2004. 70. 046702-1-046702-9.
  24. Filippova O., Hanel D. Grid refinement for lattice-BGK models // J. of Computational Physics. 1998. 147. 219-228.
  25. Filippova O., Hanel D. Boundary-fitting and local grid refinement for lattice-BGK models // Int. J. of Modern Physics C. 1998. 9, N 8. 1271-1279.
  26. Filippova O., Hanel D. Acceleration of lattice-BGK schemes with grid refinement // J. of Computational Physics. 2000. 165. 407-427.
  27. Foroughi S., Janshidi S., Masihi M. Lattice Boltzmann method on quadtree grids for simulating fluid flow through porous media: a new automatic algorithm // Physica A. 392. 4772-4786.
  28. Crouse B., Rank E., Kraczyk M., Tolke J. An LB-based approach for adaptive flow simulations // Int. J. of Modern Physics B. 2003. 17, N 1/2. 109-112.
  29. Eitel-Amor G., Meinke M., Schroder W. A lattice-Boltzmann method with hierarchically refined meshes // Computers and Fluids. 2013. 75. 127-139.
  30. Wu J., Shu C. A solution-adaptive lattice Boltzmann method for two-dimensional incompressible viscous flow // J. of Computational Physics. 2011. 230. 2246-2269.
  31. Mei R., Shyy W. On the finite difference-based lattice Boltzmann method in curvilinear coordinates // J. of Computational Physics. 1998. 143. 426-448.
  32. Mirzaci M., Poozech A. Simulation of fluid-flow in a body-fitted grid system using the lattice Boltzmann method // Physical Review E. 2013. 87. 063312-1-063312-9.
  33. Patil D.V., Lakshmisha K.N. Two-dimensional flow past circular cylinders using finite volume lattice Boltzmann formulation // Int. J. for Numerical Methods in Fluids. 2012. 69. 1149-1164.
  34. Zarghami A., Maghrebi M.J., Ubertini S., Succi S. Modeling of bifurcation phenomena in suddenly expanded flows with a new finite volume lattice Boltzmann method // Int. J. of Modern Physics C. 2011. 22, N 9. 977-1003.
  35. Ubertini S., Succi S. A generalized lattice Boltzmann equation on unstructured grids // Communications in Computational Physics. 2008. 3, N 2. 342-356.
  36. Ubertini S., Succi S., Bella G. Lattice Boltzmann schemes without coordinates // Philosophical Transactions of the Royal Society A. 2004. 362, N 1821. 1763-1771.
  37. Peng G., Xi H., Duncan C., Chou S.-H. Lattice Boltzmann method on irregular meshes // Physical Review E. 1998. 58, N 4. R4124-R4127.
  38. Peng G., Xi H., Duncan C., Chou S.-H. Finite volume scheme for the lattice Boltzmann method on unstructured meshes // Physical Review E. 1999. 59, N 4. 4675-4682.
  39. Xi H., Peng G., Chou S.-H. Finite-volume lattice Boltzmann method // Physical Review E. 1999. 59, N 5. 6202-6205.
  40. Xi H., Peng G., Chou S.-H. Finite-volume lattice Boltzmann schemes on two and three dimensions // Physical Review E. 1999. 60, N 3. 3380-3388.
  41. Ubertini S., Bella G., Succi S. Lattice Boltzmann method on unstructured grids: further developments // Physical Review E. 2003. 68. 016701-1-016701-10.
  42. Lee T., Lin C.-L. A characteristic Galerkin method for discrete Boltzmann equation // J. of Computational Physics. 2001. 171. 336-356.
  43. Wardle K.E., Lee T. Finite element lattice Boltzmann simulations of free surface flow in a concentric cylinder // Computers and Mathematics with Applications. 2013. 65. 230-238.
  44. Seino M., Tanahashi T., Yasuoka K. An analysis of natural convection using the thermal finite element discrete Boltzmann equation // Computers and Fluids. 2010. 40, N 1. 113-117.
  45. Li Y., LeBoeuf E.J., Basu P.K. Least-squares finite-element lattice Boltzmann method // Physical Review E. 2004. 69. 065701-1-065701-4.
  46. Hughes T.J. R., Scovazzi G., Tezduyar T.E. Stabilized methods for compressible flows // J. of Scientific Computing. 2010. 43. 343-368.
  47. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988.
  48. Коннор Д., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979.
  49. Latt J., Chopard B., Malaspinas O., Deville M., Michler A. Straight velocity boundaries in the lattice Boltzmann method // Physical Review E. 2008. 77. 056703-1-056703-16.
  50. Verschaeve J.C. G. Analysis of the lattice Boltzmann Bhatnagar-Gross-Krook no-slip boundary condition: ways to improve accuracy and stability // Physical Review E. 2009. 80. 036703-1-036703-23.
  51. Семенов С.А., Кривовичев Г.В. Численное исследование подходов к реализации граничных условий в методе решеточных уравнений Больцмана // Процессы управления и устойчивость. Труды 43-й Международной научной конференции. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2012. 196-201.
  52. Peng G., Xi H., Chen S.-H. On boundary conditions in the finite volume lattice Boltzmann method on unstructured meshes // Int. J. of Modern Physics C. 1999. 10, N 6. 1003-1016.
  53. Mohamad A.A., Succi S. A note on equilibrium boundary conditions in lattice Boltzmann fluid dynamic simulations // The European Physical J. Special Topics. 2009. 171. 213-221.
  54. Ghia U., Ghia K.N., Shin C.T. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and multigrid method // J. of Computational Physics. 1982. 48. 387-411.
  55. Dennis S.C. R., Chang G.-Z. Numerical solutions for steady flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 100 // J. of Fluid Mechanics. 1970. 42, N 3. 471-489.
  56. Tritton J.D. Experiments on the flow past a circular cylinder at low Reynolds numbers // J. of Fluid Mechanics. 1959. 6. 547-567.
  57. Green B.I., Vedula P. A lattice based solution of the collisional Boltzmann equation with applications to microchannel flows // J. of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2013. 7. 1-22.
  58. Кривовичев Г.В. Исследование устойчивости явных конечно-разностных решеточных кинетических схем Больцмана // Вычислительные методы и программирование. 2012. 13. 332-340.
  59. Кривовичев Г.В. Об устойчивости конечно-разностных решеточных схем Больцмана // Вычислительные методы и программирование. 2013. 14. 1-8.