A numerical algorithm for the analysis of viscoelastic waves in the Kelvin-Voigt medium

Authors

Keywords:

viscoelasticity, wave motions, dissipative difference scheme, numerical algorithms

Abstract

A numerical algorithm for solving dynamic problems in the theory of the viscoelastic Kelvin-Voigt medium is proposed on the basis of Ivanov’s method of constructing difference schemes with prescribed dissipative properties. In the one-dimensional case, the numerical results are compared with the exact solution describing the propagation of plane monochromatic waves. When solving two-dimensional problems, the summary approximation method and the splitting method with respect to the spatial variables are applied. The algorithm is tested by solving the problem of traveling surface waves. For illustration of the method’s efficiency, the Lamb’s problem on the instantaneous action of a concentrated force at the boundary of a half-plane is solved in a viscoelastic formulation.

Author Biographies

V.M. Sadovskii

O.V. Sadovskaya

References

  1. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга, 1998.
  2. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.
  3. Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965.
  4. Kosloff D., Baysal E. Forward modeling by a Fourier method // Geophys. 1982. 47, N 10. 1402-1412.
  5. Hestholm S. Three-dimensional finite difference viscoelastic wave modeling including surface topography // Geophys. J. Int. 1999. 139. 852-878.
  6. Mikhailenko B.G., Mikhailov A.A., Reshetova G.V. Numerical viscoelastic modeling by the spectral Laguerre method // Geophys. Prosp. 2003. 51, N 1. 37-48.
  7. Carcione J.M., Poletto F., Gei D. 3-D wave simulation in anelastic media using the Kelvin-Voigt constitutive equation // J. Comput. Phys. 2004. 196, N 1. 282-297.
  8. Mesquita A.D., Coda H.B. Alternative Kelvin viscoelastic procedure for finite elements // Appl. Math. Model. 2002. 26. 501-516.
  9. Bécache E., Ezziani A., Joly P. A mixed finite element approach for viscoelastic wave propagation // Comput. Geosci. 2004. 8, N 3. 255-299.
  10. Bajpai S., Nataraj N., Pani A.K. On a two-grid finite element scheme for the equations of motion arising in Kelvin-Voigt model // Adv. Comput. Math. 2014. 40, N 2. 1-29 (published online; DOI 10.1007/s10444-013-9340-1).
  11. Neumann J., Richtmyer R.D. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks // J. Appl. Phys. 1950. 21, N 3. 232-237.
  12. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress finite-difference method // Geophys. 1986. 51, N 4. 889-901.
  13. Костин В.И., Лисица В.В., Решетова Г.В., Чеверда В.А. Конечно-разностный метод численного моделирования распространения сейсмических волн в трехмерно-неоднородных разномасштабных средах // Вычислительные методы и программирование. 2011. 12. 321-329.
  14. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1954. 7, N 2. 345-392.
  15. Иванов Г.В. Построение схем решения плоской динамической задачи теории упругости на основе аппроксимации линейными полиномами // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Ин-т гидродинамики. Сиб. отд-ние АН СССР. Вып. 37. Новосибирск, 1978. 63-77.
  16. Иванов Г.В., Волчков Ю.М., Богульский И.О., Анисимов С.А., Кургузов В.Д. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002.
  17. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.
  18. Каменецкий В.Ф., Семенов А.Ю. Самосогласованное выделение разрывов при сквозных расчетах газодинамических течений // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1994. 34, № 10. 1489-1502.
  19. Садовская О.В., Садовский В.М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М.: Физматлит, 2008.
  20. Красненко А.Н., Садовская О.В. Математическое моделирование сдвиговых течений сыпучей среды с застойными зонами // Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления. Тр. Всеросс. научн. конф., посвящ. 75-летию со дня рождения академика В. П. Мясникова. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2011. 91-96.

Published

2014-02-24

How to Cite

Садовский В.М., Садовская О.В. A Numerical Algorithm for the Analysis of Viscoelastic Waves in the Kelvin-Voigt Medium // Numerical methods and programming. 2014. 15. 98-108

Issue

Section

Section 1. Numerical methods and applications