An exponentially convergent method for solving boundary integral equations on polygons

Authors

  • I.O. Arushanyan

Keywords:

double-layer potential
boundary integral equations
corner points
condensing grids
quadrature method
Dirichlet problem
Laplace operator
potential theory
two-dimensional theory of elasticity

Abstract

The boundary integral equation of the potential theory in the case of the inner Dirichlet problem for the Laplace operator and the system of boundary integral equations of the Dirichlet boundary value problem for the two-dimensional theory of elasticity in domains with a finite number of corner points are considered. The derivatives of kernels and solutions to the above integral equations on the boundaries of simply connected polygons are estimated. A numerical method based on the application of one and the same family of composite quadrature formulas is proposed. It is proved that the proposed method is exponentially convergent with respect to the number of the quadrature nodes in use.

New computational technologies

Downloads

Published

2014-10-17

Issue

Vol. 15 (2014): Issue 3.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biography

I.O. Arushanyan

Lomonosov Moscow State University,
Faculty of Mechanics and Mathematics
• Associate Professor

References

  1. Арушанян И.О. О численном решении граничных интегральных уравнений второго рода в областях с угловыми точками // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. 36, № 6. 101-113.
  2. Арушанян И.О. Применение метода граничных интегральных уравнений для численного решения задачи Дирихле в областях с угловыми точками // Вычислительные методы и программирование. 2000. 1. 1-7.
  3. Арушанян И.О. Применение метода квадратур для решения граничных интегральных уравнений плоской теории упругости на многоугольниках // Вычислительные методы и программирование. 2003. 4. 142-154.
  4. Арушанян И.О. Семейство квадратурных формул для численного решения граничных интегральных уравнений // Вычислительные методы и программирование. 2013. 14. 461-467.
  5. Арушанян И.О. Численное решение граничных интегральных уравнений на криволинейных многоугольниках // Вестник Московского ун-та. Серия 1: Математика и механика. 2014. № 4. 55-57.
  6. Бахвалов Н.С. Об оптимальной скорости интегрирования аналитических функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. 7, № 5. 1011-1020.
  7. Arushanyan I.O. An exponentially convergent method for solving boundary integral equations in domains with corner points. Report No. 9628. Nijmegen: Univ. of Nijmegen, 1996.
  8. Заргарян С.С., Мазья В.Г. Об асимптотике решений интегральных уравнений теории потенциала в окрестности угловых точек контура // Прикл. матем. и механ. 1984. 48, вып. 1. 169-174.
  9. Мазья В.Г., Соловьев А.А. Интегральные уравнения теории логарифмического потенциала на контурах с пиком в пространствах Гёльдера // Алгебра и анализ. 1998. 10, № 5. 85-142.
  10. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. 27. М.: ВИНИТИ, 1988. 131-228.
  11. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977.
  12. Atkinson K.E. The numerical solution of integral equations of the second kind. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997.
  13. Babuushka I., Guo B.Q., Stephan E.P. On the exponential convergence of the h-p version for boundary element Galerkin methods on polygons // Math. Meth. Appl. Sci. 1990. 12, N 5. 413-427.
  14. Bremer J., Rokhlin V. Efficient discretization of Laplace boundary integral equations on polygonal domains // J. Comput. Phys. 2010. 229, N 7. 2507-2525.
  15. Chandler G.A. Superconvergent approximations to the solution of a boundary integral equation on polygonal domains // SIAM J. Numer. Anal. 1986. 23, N 6. 1214-1229.
  16. Graham I.G., Chandler G.A. High-order methods for linear functionals of solutions of second kind integral equations // SIAM J. Numer. Anal. 1988. 25, N 5. 1118-1137.
  17. Helsing J., Ojala R. Corner singularities for elliptic problems: integral equations, graded meshes, quadrature, and compressed inverse preconditioning // J. Comput. Phys. 2008. 227, N 20. 8820-8840.
  18. Kong W.Y., Bremer J., Rokhlin V. An adaptive fast direct solver for boundary integral equations in two dimensions // Applied and Computational Harmonic Analysis. 2011. 31, N 3. 346-369.
  19. Kress R. A Nyström method for boundary integral equations in domains with corners // Numer. Math. 1990/91. 58, N 1. 145-161.
  20. Kress R. Linear integral equations. Heidelberg: Springer, 1999.