A numerical scheme for simulating the dynamics of surface water on the basis of the combined SPH-TVD approach

Authors

  • S.S. Khrapov
  • A.V. Khoperskov
  • N.M. Kuzmin
  • A.V. Pisarev
  • I.A. Kobelev

Keywords:

уравнения мелкой воды
численная схема
SPH
TVD
нерегулярный рельеф дна

Abstract

A new numerical algorithm is developed for calculating the shallow water dynamics. The algorithm provides a cross-cutting computation on irregular or/and discontinuous reliefs with unsteady boundaries of the «water-dry bottom» type. The method is based on the combination of modified SPH and TVD approaches for the shallow water equations. A large number of classical problems is tested. The numerical results show that the combined SPH-TVD scheme is conservative, well-balanced, has the second order of accuracy on smooth solutions. This scheme has the first order of accuracy in the domains containing discontinuities of the flow parameters and kinks of the relief profile.

New computational technologies

Downloads

Published

2011-06-14

Issue

Vol. 12 (2011): Issue 2.

Section

Section 1. Numerical methods and applications

Author Biographies

S.S. Khrapov

Institute of Mathematics and Informational Technologies
• Associate Professor

A.V. Khoperskov

Institute of Mathematics and Informational Technologies
• Professor

N.M. Kuzmin

Institute of Mathematics and Informational Technologies
• Associate Professor

A.V. Pisarev

Institute of Mathematics and Informational Technologies
• PhD Student

I.A. Kobelev

Institute of Mathematics and Informational Technologies
• Undergraduate

References

  1. Agoshkov V.I., Ambrosi D., Pennati V., Quarteroni A., Saleri F. Mathematical and numerical modelling of shallow water flow // Computational Mechanics. 1993. 11, N 5-6. 280-299.
  2. Karelsky K.V., Petrosyan A.S. Particular solutions and Riemann problem for modified shallow water equations // Fluid Dynamics Research. 2006. 38, N 5. 339-358.
  3. Чикин А.Л., Бирюков П.А. Расчет ветровых течений в Керченском проливе с помощью двухслойной математической модели // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. 2010. N 5. 12-16.
  4. Bristeaua M.-O., Goutalb N., Sainte-Marie J. Numerical simulations of a non-hydrostatic shallow water model // Computers &; Fluids. 2011 (in print).
  5. Wang K.-H., Li W., Lee H. Propagation and transformation of periodic nonlinear shallow-water waves in basins with selected breakwater systems // Computers &; Fluids. 2008. 37, N 8. 931-942.
  6. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.
  7. Bonometti T., Balachandar S. Slumping of non-Boussinesq density currents of various initial fractional depths: A comparison between direct numerical simulations and a recent shallow-water model // Computers &; Fluids. 2010. 39, N 4. 729-734.
  8. Dewals B.J., Kantoush S.A., Erpicum S., Pirotton M., Schleiss A.J. Experimental and numerical analysis of flow instabilities in rectangular shallow basins // Environmental Fluid Mechanics. 2008. 8. 31-54.
  9. Аверкиев А.С., Клеванный К.А. Определение траекторий и скоростей циклонов, приводящих к максимальным подъемам воды в Финском заливе // Метеорология и гидрология. 2007. N 8. 55-63.
  10. Будинова Е.В., Носов В.Н., Терехин А.Т. Моделирование течений Северного Каспия. Теоретическая экология. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.
  11. Фомин В.В. Применение схем TVD для численного моделирования фронтальных зон солености в мелком море // Метеорология и гидрология. 2006. N 2. 59-68.
  12. Дебольский В.К., Дебольская Е.И., Масликова О.Я. Модель деформаций дна в нижнем бьефе гидроузла с учетом ледовых затруднений // Журнал Университета водных коммуникаций. 2010. 2. 55a-57.
  13. Воеводин A.Ф., Никифоровская В.С., Остапенко B.В. Математическое моделирование трансформации волн паводков в руслах с поймами // Метеорология и гидрология. 2008. N 3. 88-95.
  14. Заибо Н., Пелиновский Б.Н., Храмушин В.Н. Моделирование цунами на Малых Антильских островах // Известия Академии инженерных наук РФ. 2001. 2. 68-84.
  15. Еремин М.А., Хоперсков А.В. Компьютерная модель прорыва волжской плотины // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1: Математика. Физика. 2006. 10. 139-142.
  16. Смирнов Е.Д., Хоперсков А.В. Моделирование динамики загрязнений в бассейне Волгоградского водохранилища // Поволжский экологический вестник. 1997. 4. 83-87.
  17. Kramer T., Jozsa J.J. Solution-adaptivity in modelling complex shallow flows // Computers &; Fluids. 2007. 36, N 3. 562-577.
  18. Parrish D.M., Hagen S.C. Incorporating spatially variable bottom stress and Coriolis force into 2D, a posteriori, unstructured mesh generation for shallow water models // Intern. Journal for Numerical Methods in Fluids. 2009. 60, N 3. 237-261.
  19. Bernard P.-E., Remacle J.-F., Legat V. Boundary discretization for high-order discontinuous Galerkin computations of tidal flows around shallow water islands // Intern. Journal for Numerical Methods in Fluids. 2009. 59, N 5. 535-557.
  20. Крукиер Л.А., Чикин А.Л., Шабас И.Н. Трехмерная модель гидродинамики Азовского моря и ее численная реализация // Среда, биота и моделирование экологических процессов в Азовском море. Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 2001. 282-297.
  21. Храпов С.С., Хоперсков А.В., Еремин М.А., Гусаров Д.В., Плякин А.В., Филиппов О.В., Золотарев Д.В., Кузьмин Н.М. Электронная модель затопления Волго-Ахтубинской поймы при различных гидрографах специального весеннего пропуска Волжской ГЭС и водоснабжении рукава Ахтуба на основе технологий геоинформационных систем // Вестник ВолГУ. Сер.1. Математика. Физика. 2008. 11. 201-207.
  22. Kesserwani G., Liang Q. Well-balanced RKDG2 solutions to the shallow water equations over irregular domains with wetting and drying // Computers &; Fluids. 2010. 39, N 10. 2040-2050.
  23. Alcrudo F., Benkhaldoun F. Exact solutions to the Riemann problem of the shallow water equations with a bottom step // Computers &; Fluids. 2001. 30, N 6. 643-671. wreflabelbNezlin-Snezhkin-1990!book
  24. Незлин М.В., Снежкин Е.Н. Вихри Россби и спиральные структуры: астрофизика и физика плазмы в опытах на мелкой воде. М.: Наука, 1990.
  25. Grotberg J.B., Jensen O.E. Biofluid mechanics in flexible tubes // Annu. Rev. Fluid Mech. 2004. 36, N 1. 121-147.
  26. Shakura N.I., Sunyaev R.A. Black holes in binary systems. Observational appearance // Astron. Astrophys. 1973. 24. 337-355.
  27. Khoperskov A.V., Khrapov S.S., Nedugova E.A. Dissipative-acoustic instability in accretion disks at a nonlinear stage // Astronomy Letters. 2003. 29, N 4. 246-257.
  28. Charles W.M., Heemink A.W., van den Berg E. Coloured noise for dispersion of contaminants in shallow waters // Applied Mathematical Modelling. 2009. 33, N 2. 1158-1172.
  29. Cai L., Xie W.-X., Feng J.-H., Zhou J. Computations of transport of pollutant in shallow water // Applied Mathematical Modelling. 2007. 31, N 3. 490-498.
  30. Benkhaldoun F., Quivy L. A nonhomogeneous Riemann solver for shallow water and two phase flows // Flow, Turbulence and Combustion. 2006. 76, N 4. 391-402.
  31. Kalashnik M.V. Vortex funnel formation by a mass sink within the shallow-water model // Fluid Dynamics. 2004. 39, N 2. 275-285.
  32. Lai J.-S., Guo W.-D., Lin G.-F., Tan Y.-C. A well-balanced upstream flux-splitting finite-volume scheme for shallow-water flow simulations with irregular bed topography // Intern. Journal for Numerical Methods in Fluids. 2010. 62, N 8. 927-944.
  33. Noelle S., Pankratz N., Puppo G., and Natvig J.R. Well-balanced finite volume schemes of arbitrary order of accuracy for shallow water flows // J. Comput. Phys. 2006. 213, N 2. 474-499. wreflabelbEvstegneev-2006!Model-SW
  34. Евстигнеев Н.М. Конечно-объемная TVD-схема для решения 2D эволюционных уравнений мелкой воды // Вычислительные методы и программирование. 2006. 7, N 1. 112-116. wreflabelbKashiyama-etal-1999!finite-element-method
  35. Kashiyama K., Ohba Y., Takagi T., Behr M., Tezduyar T. Parallel finite element method utilizing the mode splitting and sigma coordinate for shallow water flows // Computational Mechanics. 1999. 23, N 2. 144-150.
  36. Mohammadian A., Le Roux D.Y., Tajrishi M. A conservative extension of the method of characteristics for 1D shallow flows // Applied Mathematical Modelling. 2007. 31, N 2. 332-348.
  37. Wong S.M., Hon Y.C., Golberg M.A. Compactly supported radial basis functions for shallow water equations // Applied Mathematics and Computation. 2002. 127, N 1. 79-101.
  38. Fernandez-Nieto E.D., Marin J., Monnier J. Coupling superposed 1D and 2D shallow-water models: Source terms in finite volume schemes // Computers &; Fluids. 2010. 39, N 6. 1070-1082.
  39. Liang Q., Borthwick A.G. L. Adaptive quadtree simulation of shallow flows with wet-dry fronts over complex topography // Computers &; Fluids. 2009. 38, N 2. 221-234.
  40. Comblen R., Lambrechts J., Remacle J.F., Legat V. Practical evaluation of five partly discontinuous finite element pairs for the non-conservative shallow water equations // Intern. Journal for Numerical Methods in Fluids. 2010. 63, N 6. 701-724.
  41. Ata R., Soulaimani A., Chinesta F. The natural volume method (NVM): Presentation and application to shallow water inviscid flows // Intern. Journal for Numerical Methods in Fluids. 2009. 59. 19-45.
  42. Birknes J., Pedersen G. A particle finite element method applied to long wave run-up // Intern. Journal for Numerical Methods in Fluids. 2006. 52. 237-261.
  43. Yabe T., Ogata Y. Conservative semi-Lagrangian CIP technique for the shallow water equations // Computational Mechanics. 2010. 46, N 1. 125-134.
  44. Monaghan J.J. Particle methods for hydrodynamics // Computer Physics Reports. 1985. 3, N 2. 71-124.
  45. Monaghan J.J. Smoothed particle hydrodynamics // Ann. Rev. Astron. and Astrophysics. 1992. 30. 543-574.
  46. Hubber D.A., Batty C.P., McLeod A., Whitworth A.P. SEREN - a new SPH code for star and planet formation simulations. Algorithms and tests // Astronomy &; Astrophysics. 2011. 529. A27.
  47. Алиев А.В. Применение метода сглаженных частиц для решения задач физической газовой динамики // Вычислительные методы и программирование. 2008. 9, N 1. 44-51.
  48. Monaghan J.J. Simulating free surface flows with SPH // Journal of Computational Physics. 1994. 110, N 2. 399-406.
  49. Ata R., Soulaimani A. A stabilized SPH method for inviscid shallow water flows // Intern. Journal for Numerical Methods in Fluids. 2005. 47. 139-159.
  50. Храпов С.С., Хоперсков А.В., Еремин М.А. Моделирование динамики поверхностных вод. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2010.
  51. Karelsky K.V., Papkov V.V., Petrosyan A.S. The initial discontinuity decay problem for shallow water equations on slopes // Physics Letters A. 2000. 271, N 5-6. 349-357.
  52. Еремин М.А., Хоперсков А.В., Хоперсков С.А. Конечно-объемная схема интегрирования уравнений гидродинамики // Известия ВолГТУ. Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики. 2010. 6, N 8. 24-27.
  53. Harten A., Lax P.D., van Leer B. On upstreaming differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws // SIAM Rev. 1983. 25. 35.
  54. Toro E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Berlin: Springer, 2010.
  55. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Уч. зап. ЦАГИ. 1972. 3, N 6. 68-77.
  56. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.
  57. Хоперсков С.А., Хоперсков А.В., Еремин М.А., Бутенко М.А. Полигональные структуры в газовом диске: численные эксперименты // Письма в Астроном. Журнал. 2011. 37, N 8. 614-627.
  58. Тарнавский Г.А., Алиев А.В. Особенности аэродинамики высокоскоростного полета: компьютерное моделирование гиперзвукового обтекания головной части объекта // Вычислительные методы и программирование. 2008. 9, N 2. 185-208.